\section*{*第五节 含参变量的积分}

设 $f(x, y)$ 是矩形 (闭区域) $R=[a, b] \times[c, d]$ (1)上的连续函数。 在 $[a, b]$ 上任意取定 $x$ 的一个值， 于是 $f(x, y)$ 是变量 $y$ 在 $[c, d]$ 上的一个一元连续函数， 从而积分

(1) $[a, b] \times[c, d]=\{(x, y) \mid x \in[a, b], y \in[c, d]\}$, 称为 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 的直积。

\[
\int_{c}^{d} f(x, y) \mathrm{d} y
\]

存在，这个积分的值依赖于取定的 $x$ 值。 当 $x$ 的值改变时，一般说来这个积分的值也跟着改变。 这个积分确定一个定义在 $[a, b]$ 上的 $x$ 的函数，把它记作 $\varphi(x)$, 即

\[
\varphi(x)=\int_{c}^{d} f(x, y) \mathrm{d} y \quad(a \leqslant x \leqslant b) .
\]

这里变量 $x$ 在积分过程中是一个常量，通常称它为参变量， 因此 $(5-1)$ 式右端是一个含参变量 $x$ 的积分，这积分确定 $x$ 的一个函数 $\varphi(x)$,下面讨论关于 $\varphi(x)$ 的一些性质。

定理 1 如果函数 $f(x, y)$ 在矩形 $R=[a, b] \times[c, d]$ 上连续，那么由积分 $(5-1)$ 确定的函数 $\varphi(x)$ 在 $[a, b]$ 上也连续。

证 设 $x$ 和 $x+\Delta x$ 是 $[a, b]$ 上的两点，则

\[
\varphi(x+\Delta x)-\varphi(x)=\int_{c}^{d}[f(x+\Delta x, y)-f(x, y)] \mathrm{d} y
\]

由于 $f(x, y)$ 在闭区域 $R$ 上连续， 从而一致连续。 因此对于任意取定的 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta>0$,使得对于 $R$ 内的任意两点 $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ 及 $\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 只要它们之间的距离小于 $\delta$, 即

\[
\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}<\delta,
\]

就有

\[
\left|f\left(x_{2}, y_{2}\right)-f\left(x_{1}, y_{1}\right)\right|<\varepsilon .
\]

因为点 $(x+\Delta x, y)$ 与 $(x, y)$ 的距离等于 $|\Delta x|$, 所以当 $|\Delta x|<\delta$ 时， 就有

\[
|f(x+\Delta x, y)-f(x, y)|<\varepsilon,
\]

于是由 (5-2) 式有

\[
|\varphi(x+\Delta x)-\varphi(x)| \leqslant \int_{c}^{d}|f(x+\Delta x, y)-f(x, y)| \mathrm{d} y<\varepsilon(d-c) .
\]

所以 $\varphi(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续。

既然函数 $\varphi(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续， 那么它在 $[a, b]$ 上的积分存在， 这个积分可以写为

\[
\int_{a}^{b} \varphi(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b}\left[\int_{c}^{d} f(x, y) \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} \mathrm{~d} x \int_{c}^{d} f(x, y) \mathrm{d} y .
\]

右端积分是函数 $f(x, y)$ 先对 $y$ 后对 $x$ 的二次积分。 当 $f(x, y)$ 在矩形 $R$ 上连续时， $f(x, y)$ 在 $R$ 上的二重积分 $\iint_{R} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 是存在的， 这个二重积分化为二次积分来计算时， 如果先对 $y$ 后对 $x$ 积分， 就是上面的这个二次积分。 但二重积分 $\iint_{R} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 也可化为先对 $x$ 后对 $y$ 的二次积分 $\int_{c}^{d}\left[\int_{a}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y$, 因此有下面的定理 2 .
定理 2 如果函数 $f(x, y)$ 在矩形 $R=[a, b] \times[c, d]$ 上连续，那么

\[
\int_{a}^{b}\left[\int_{c}^{d} f(x, y) \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x=\int_{c}^{d}\left[\int_{a}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y .
\]

公式(5-3) 也可写成

\[
\int_{a}^{b} \mathrm{~d} x \int_{c}^{d} f(x, y) \mathrm{d} y=\int_{c}^{d} \mathrm{~d} y \int_{a}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x
\]

下面考虑由积分 $(5-1)$ 确定的函数 $\varphi(x)$ 的微分问题。

定理 3 如果函数 $f(x, y)$ 及其偏导数 $f_{x}(x, y)$ 都在矩形 $R=[a, b] \times[c, d]$ 上连续，那么由积分 $(5-1)$ 确定的函数 $\varphi(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微分， 并且

\[
\varphi^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{c}^{d} f(x, y) \mathrm{d} y=\int_{c}^{d} f_{x}(x, y) \mathrm{d} y .
\]

证 因为 $\varphi^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\varphi(x+\Delta x)-\varphi(x)}{\Delta x}$, 为了求 $\varphi^{\prime}(x)$, 先利用公式 (5-2) 作出增量之比

\[
\frac{\varphi(x+\Delta x)-\varphi(x)}{\Delta x}=\int_{c}^{d} \frac{f(x+\Delta x, y)-f(x, y)}{\Delta x} \mathrm{~d} y .
\]

由拉格朗日中值定理以及 $f_{x}(x, y)$ 的一致连续性， 可得

\[
\frac{f(x+\Delta x, y)-f(x, y)}{\Delta x}=f_{x}(x+\theta \Delta x, y)=f_{x}(x, y)+\eta(x, y, \Delta x),
\]

其中 $0<\theta<1,|\eta|$ 可小于任意给定的正数 $\varepsilon$, 只要 $|\Delta x|$ 小于某个正数 $\delta$. 因此

\[
\left|\int_{c}^{d} \eta(x, y, \Delta x) \mathrm{d} y\right|<\int_{c}^{d} \varepsilon \mathrm{d} y=\varepsilon(d-c) \quad(|\Delta x|<\delta),
\]

这就是说

\[
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \int_{c}^{d} \eta(x, y, \Delta x) \mathrm{d} y=0
\]

由 $(5-5)$ 及 $(5-6)$ 有

\[
\frac{\varphi(x+\Delta x)-\varphi(x)}{\Delta x}=\int_{c}^{d} f_{x}(x, y) \mathrm{d} y+\int_{c}^{d} \eta(x, y, \Delta x) \mathrm{d} y
\]

令 $\Delta x \rightarrow 0$ 取上式的极限， 即得公式 (5-4).

在积分 $(5-1)$ 中积分限 $c$ 与 $d$ 都是常数。 但在实际应用中还会遇到对于参变量 $x$的不同的值， 积分限也不同的情形， 即以下的积分

\[
\Phi(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x, y) \mathrm{d} y
\]

下面我们考虑这种更为广泛地依赖于参变量的积分的某些性质。

定理 4 如果函数 $f(x, y)$ 在矩形 $R=[a, b] \times[c, d]$ 上连续， 函数 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续， 且

\[
c \leqslant \alpha(x) \leqslant d, \quad c \leqslant \beta(x) \leqslant d \quad(a \leqslant x \leqslant b),
\]

那么由积分 $(5-7)$ 确定的函数 $\Phi(x)$ 在 $[a, b]$ 上也连续。

证 设 $x$ 和 $x+\Delta x$ 是 $[a, b]$ 上的两点，则

\[
\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)=\int_{\alpha(x+\Delta x)}^{\beta(x+\Delta x)} f(x+\Delta x, y) \mathrm{d} y-\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x, y) \mathrm{d} y .
\]

因为

\[
\begin{aligned}
& \int_{\alpha(x+\Delta x)}^{\beta(x+\Delta x)} f(x+\Delta x, y) \mathrm{d} y \\
= & \int_{\alpha(x+\Delta x)}^{\alpha(x)} f(x+\Delta x, y) \mathrm{d} y+\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x+\Delta x, y) \mathrm{d} y+\int_{\beta(x)}^{\beta(x+\Delta x)} f(x+\Delta x, y) \mathrm{d} y,
\end{aligned}
\]

所以

\[
\begin{aligned}
& \Phi(x+\Delta x)-\Phi(x) \\
= & \int_{\alpha(x+\Delta x)}^{\alpha(x)} f(x+\Delta x, y) \mathrm{d} y+\int_{\beta(x)}^{\beta(x+\Delta x)} f(x+\Delta x, y) \mathrm{d} y+\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}[f(x+\Delta x, y)-f(x, y)] \mathrm{d} y .
\end{aligned}
\]

当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，上式右端最后一个积分的积分限不变，根据证明定理 1 时同样的理由， 这个积分趋于零。 又

\[
\begin{aligned}
& \left|\int_{\alpha(x+\Delta x)}^{\alpha(x)} f(x+\Delta x, y) \mathrm{d} y\right| \leqslant M|\alpha(x+\Delta x)-\alpha(x)|, \\
& \left|\int_{\beta(x)}^{\beta(x+\Delta x)} f(x+\Delta x, y) \mathrm{d} y\right| \leqslant M|\beta(x+\Delta x)-\beta(x)|,
\end{aligned}
\]

其中 $M$ 是 $|f(x, y)|$ 在矩形 $R$ 上的最大值。 根据 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续的假定，由以上两式可见， 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时， (5-8) 式右端的前两个积分都趋于零。 于是， 当 $\Delta x \rightarrow$ 0 时，

\[
\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x) \rightarrow 0 \quad(a \leqslant x \leqslant b),
\]

所以函数 $\Phi(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续。

关于函数 $\Phi(x)$ 的微分， 有下述定理：

定理 5 如果函数 $f(x, y)$ 及其偏导数 $f_{x}(x, y)$ 都在矩形 $R=[a, b] \times[c, d]$ 上连续，函数 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 都在区间 $[a, b]$ 上可微，且

\[
c \leqslant \alpha(x) \leqslant d, \quad c \leqslant \beta(x) \leqslant d \quad(a \leqslant x \leqslant b),
\]

那么由积分 (5-7) 确定的函数 $\Phi(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微， 且

\[
\begin{aligned}
\Phi^{\prime}(x) & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x, y) \mathrm{d} y \\
& =\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f_{x}(x, y) \mathrm{d} y+f[x, \beta(x)] \beta^{\prime}(x)-f[x, \alpha(x)] \alpha^{\prime}(x) .
\end{aligned}
\]

证 由 (5-8) 式有

\[
\frac{\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)}{\Delta x}
\]

\[
=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} \frac{f(x+\Delta x, y)-f(x, y)}{\Delta x} \mathrm{~d} y+\frac{1}{\Delta x} \int_{\beta(x)}^{\beta(x+\Delta x)} f(x+\Delta x, y) \mathrm{d} y-\frac{1}{\Delta x} \int_{\alpha(x)}^{\alpha(x+\Delta x)} f(x+\Delta x, y) \mathrm{d} y .
\]

当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，上式右端的第一个积分的积分限不变， 根据证明定理 3 时同样的理由，有

\[
\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} \frac{f(x+\Delta x, y)-f(x, y)}{\Delta x} \mathrm{~d} y \rightarrow \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f_{x}(x, y) \mathrm{d} y .
\]

对于 (5-10) 式右端的第二项， 应用积分中值定理得

\[
\frac{1}{\Delta x} \int_{\beta(x)}^{\beta(x+\Delta x)} f(x+\Delta x, y) \mathrm{d} y=\frac{1}{\Delta x}[\beta(x+\Delta x)-\beta(x)] f(x+\Delta x, \eta),
\]

其中 $\eta$ 在 $\beta(x)$ 与 $\beta(x+\Delta x)$ 之间。 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，

\[
\frac{1}{\Delta x}[\beta(x+\Delta x)-\beta(x)] \rightarrow \beta^{\prime}(x), \quad f(x+\Delta x, \eta) \rightarrow f[x, \beta(x)]
\]

于是

\[
\frac{1}{\Delta x} \int_{\beta(x)}^{\beta(x+\Delta x)} f(x+\Delta x, y) \mathrm{d} y \rightarrow f[x, \beta(x)] \beta^{\prime}(x) .
\]

类似地可证，当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，

\[
\frac{1}{\Delta x} \int_{\alpha(x)}^{\alpha(x+\Delta x)} f(x+\Delta x, y) \mathrm{d} y \rightarrow f[x, \alpha(x)] \alpha^{\prime}(x)
\]

因此， 令 $\Delta x \rightarrow 0$, 取 (5-10) 式的极限便得公式 (5-9).

公式 (5-9) 称为莱布尼茨公式。

例 1 设 $\Phi(x)=\int_{x}^{x^{2}} \frac{\sin (x y)}{y} \mathrm{~d} y$, 求 $\Phi^{\prime}(x)$.

解 应用莱布尼茨公式， 得

\[
\begin{aligned}
\Phi^{\prime}(x) & =\int_{x}^{x^{2}} \cos (x y) \mathrm{d} y+\frac{\sin x^{3}}{x^{2}} \cdot 2 x-\frac{\sin x^{2}}{x} \cdot 1 \\
& =\left[\frac{\sin (x y)}{x}\right]_{x}^{x^{2}}+\frac{2 \sin x^{3}}{x}-\frac{\sin x^{2}}{x}=\frac{3 \sin x^{3}-2 \sin x^{2}}{x} .
\end{aligned}
\]

例 2 求 $I=\int_{0}^{1} \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} \mathrm{~d} x \quad(0<a<b)$.

解 因为

\[
\int_{a}^{b} x^{y} \mathrm{~d} y=\left[\frac{x^{y}}{\ln x}\right]_{a}^{b}=\frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x}
\]

所以

\[
I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{a}^{b} x^{y} \mathrm{~d} y
\]

这里函数 $f(x, y)=x^{y}$ 在矩形 $R=[0,1] \times[a, b]$ 上连续， 根据定理 2 , 可交换积分次序，由此有

\[
I=\int_{a}^{b} \mathrm{~d} y \int_{0}^{1} x^{y} \mathrm{~d} x=\int_{a}^{b}\left[\frac{x^{y+1}}{y+1}\right]_{0}^{1} \mathrm{~d} y=\int_{a}^{b} \frac{1}{y+1} \mathrm{~d} y=\ln \frac{b+1}{a+1} .
\]

例 3 计算定积分 $I=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$.

解 考虑含参变量 $\alpha$ 的积分所确定的函数

\[
\varphi(\alpha)=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+\alpha x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x
\]

显然， $\varphi(0)=0, \varphi(1)=I$. 根据公式 $(5-4)$ 得

\[
\varphi^{\prime}(\alpha)=\int_{0}^{1} \frac{x}{(1+\alpha x)\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x
\]

把被积函数分解为部分分式，得到

\[
\frac{x}{(1+\alpha x)\left(1+x^{2}\right)}=\frac{1}{1+\alpha^{2}}\left(\frac{-\alpha}{1+\alpha x}+\frac{x}{1+x^{2}}+\frac{\alpha}{1+x^{2}}\right)
\]

于是

\[
\begin{aligned}
\varphi^{\prime}(\alpha) & =\frac{1}{1+\alpha^{2}}\left(\int_{0}^{1} \frac{-\alpha \mathrm{d} x}{1+\alpha x}+\int_{0}^{1} \frac{x \mathrm{~d} x}{1+x^{2}}+\int_{0}^{1} \frac{\alpha \mathrm{d} x}{1+x^{2}}\right) \\
& =\frac{1}{1+\alpha^{2}}\left[-\ln (1+\alpha)+\frac{1}{2} \ln 2+\alpha \cdot \frac{\pi}{4}\right]
\end{aligned}
\]

上式在 $[0,1]$ 上对 $\alpha$ 积分， 得到

\[
\varphi(1)-\varphi(0)=-\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+\alpha)}{1+\alpha^{2}} \mathrm{~d} \alpha+\frac{1}{2} \ln 2 \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} \alpha}{1+\alpha^{2}}+\frac{\pi}{4} \int_{0}^{1} \frac{\alpha}{1+\alpha^{2}} \mathrm{~d} \alpha
\]

即

\[
I=-I+\frac{\ln 2}{2} \cdot \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4} \cdot \frac{\ln 2}{2}=-I+\frac{\pi}{4} \ln 2 .
\]

从而

\[
I=\frac{\pi}{8} \ln 2 .
\]


